Quelle drôle de société qui fait croire à ses enfants  qu'il est facile d'être une star de football et à ses adultes qu'on peut se passionner pour ce sport sans le pratiquer.

Alors que cette même société fait comprendre à ses enfants que les mathématiques sont très difficiles et à ses adultes, qu'il est impossible de se passionner pour les histoires qu'elles racontent sans les avoir pratiquées pendant de très nombreuses années!

En revenant du Congrès annuel de l'APMEP ma voiture est tombée en panne à .... Nuits Saint Georges! J'en reviens. Pour y aller, une petite escale à Paris Austerlitz et direction la Gare de Lyon pour prendre le TGV.

Rien n'a changé en 20 ans ou presque sauf deux choses qui m'ont frappées :

Sur les quais de Seine, vers le Pont d'Austerlitz, les toiles de tentes des SDF sont maintenant visibles, je n'en ai jamais vu lorsque je traversais ce même pont pour aller de la gare de Lyon à l'Université Paris VI. Triste...

Les gens n'hésitent pas à regarder un film entier sur un lecteur DVD dans le train. Sans doute que l'image est sensée faire passer le son ! Les mêmes personnes demanderaient certainement à un adolescent  d'écouter sa musique dans un casque plutôt qu'avec des enceintes !

Dans le Petit Robert, on peut trouver la définition suivante du mot intuition : « Forme de connaissance immédiate qui ne recourt pas au raisonnement. » L’intuition occupe-t-elle une place en mathématiques, discipline de rigueur par excellence, où toute affirmation s’accompagne d’une démonstration ?

Témoignages sur le phénomène de l’intuition

Bien qu’il soit discutable de parler de réelle connaissance à ce stade, l’histoire regorge de témoignages de mathématiciens racontant des expériences durant lesquelles un résultat ou une solution à un problème se sont imposés spontanément à l’esprit, sans raisonnement préalable.

Finalement, il y a deux jours, j’ai réussi… Comme en un éclair subit, l’énigme se trouva résolue. [Gauss]

Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l’idée me vint, sans que rien dans mes pensées antérieures parût m’y avoir préparé. [Poincaré]

Ayant été réveillé très brusquement par un bruit extérieur, une solution longuement cherchée m’apparut immédiatement, sans le moindre instant de réflexion de ma part. [Hadamard]

Voilà comment commence la note " L'intuition en mathématiques" sur le blog de Bao Long Principia - Histoire et Philosophie des mathématiques.

La suite de la note est ICI

Une fois la lecture de la note terminée j'ai envoyé un commentaire et je vous livre la conversation qui a suivi.

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Olivier

Ne parlant que pour moi, j'ai distingué deux types d'intuitions de natures très différentes, toutes aussi spontanées: l'une que j'appellerai de "direction" celle qui ouvre un chemin nouveau, une voie inexplorée et l'autre que je nommerai de "synthèse", c'est celle qui en un instant rapproche des éléments auparavant épars ou oubliés. Ces deux intuitions permettent une modification complète des chemins du raisonnement et donnent lieu à cette sorte d'explosion "illuminative". Ces deux types d'intuition peuvent travailler de concert et se mélanger au raisonnement. Des allez et retour peuvent se produire. L'intuition n'est pas de même nature que le raisonnement, elle n'est ni avant, ni après,ni moins sûre, elle est à tout simplement à coté du raisonnement.


Bao Long

Votre distinction de ces deux formes d'intuition est assez naturelle. Poincaré a ajouté encore d'autres distinctions, il parle (en d'autres mots) de :

L'intuition empirique (exemple : "par un point, on ne peut mener qu'une parallèle à une droite").

L'imagination (exemple : Poncelet "imaginait" que des propriétés vraies pour des hyperboles aux asymptotes réelles, restent vraies pour l'ellipse aux asymptotes imaginaires... c'est contraire aux sens, donc à l'intuition précédente).

L'intuition d'induction (ce qui est vrai pour des cas restreints, reste vrai pour des cas généraux; c'est différent de l'exemple précédent car les ellipses ne généralisent pas les hyperboles). Cette intuition justifie les preuves par induction.

L'intuition du nombre pur (avec l'exemple "deux quantités égales à une troisième, sont égales entre elles").

Olivier

Merci de me répondre aussi vite et aussi clairement. Si je me suis permis de vous envoyer un commentaire c'est que l'idée de "synthèse" ne me paraissait pas bien transparaître mais peut-être n'ai je pas été assez précis et n'ai je pas assez approfondi votre note. J'associe au mot "synthèse" l'idée de mettre ensemble, de lier des choses, ce  que l'esprit ne fait pas naturellement. L'intuition provient dans ce cas, du simple fait de permettre à un évènement intellectuel de se produire, de laisser une place pour qu'il survienne. Je dirai dans ce cas que l'intuition n'est pas un "acte" mais un espace mis à disposition de la synthèse afin qu'elle se réalise. C'est peut-être naïf mais il ne me semble pas avoir vu cela dans l'approche des mathématiciens que vous avez cité: L'intuition comme "permission", entièrement passive, un espace ou un temps permettant une "fusion", un rapprochement décisif, un contact.
Il serait intéressant de demander à Alain Connes ce qu'il y a après le trou... Son remplissage ou un mur troué a travers lequel on voit la lumière?

Bao Long

Pourtant, il me semble que l'intuition dont il est question dans l'article est compatible avec l'intuition de synthèse que vous citez. En effet, quand vous la décrivez comme un espace permettant "une fusion, un rapprochement décisif, un contact", cela me semble bien correspondre au fait que l'inconscient cherche en réalisant des combinaisons d'idées. Parfois, une combinaison remarquable, c.-à-d. (pour reprendre vos mots) une fusion, un rapprochement ou un contact remarquable entre idées se réalise et il se produit alors une illumination.

D'ailleurs, une synthèse se fait plus facilement lorsqu'on a plus de recul, ce qui est le cas de l'inconscient par rapport au conscient. (Bien sûr, tout ceci est informel : je suis loin d'être psychologue.)

La fécondité d'une intuition varie selon les problèmes et au sein de chaque problème. Certaines ouvrent une piste nouvelle (intuition de direction), d'autres apportent un éclairage sur un savoir existant (intuition de synthèse). Il en existe probablement d'autres, je pense par hasard à une intuition que j'appellerais "de résolution" : celle que l'on a lorsqu'on réalise LA manipulation à faire dans un problème pour en débloquer la solution en un instant (et le reste du travail n'est que formalité).


Pour Alain Connes, je serais tout aussi curieux que vous de lui poser la question.

Olivier

Nous sommes en effet d'accord. C'est peut-être cette idée d'inconscient qui me gênais, une sorte de "ça se passe malgré moi" alors que j'y vois plutôt au contraire, une entreprise consciente mais impossible à déclencher consciemment, comme de laisser la porte ouverte pour que "ça" se produise. Un peu comme le serait celle d'une maison qu'on laisserait ouverte et l'on attendrait un animal farouche dont la venue ne dépendrait pas de nous, mais c'est bien nous qui avons entrouvert cette porte. Cette idée ne me parait pas tellement compatible avec l'idée que je me fais de l'inconscient, sorte de machine qui travaille quand le conscient ne travaille pas. Je n'ai jamais été  très copain avec l'inconscient, il faut dire...

Bao Long

Si l'inconscient fonctionnait "malgré soi", cela me gênerait aussi. Il semble cependant que le conscient joue un rôle fondamental dans l'affaire, en particulier lors de l'étape nécessaire au démarrage de l'inconscient : l'étape de préparation où le conscient étudie et sèche sur le problème. Je ne l'ai peut-être pas assez souligné (contrairement aux auteurs de mes sources) : un travail conscient est nécessaire pour maximiser la taille des "données" disponibles sur le problème. Après seulement, l'inconscient peut travailler à son tour sur ces données avec un peu plus de recul que le conscient.

Ainsi, c'est bien le travail conscient qui met l'inconscient dans de bonnes prédispositions, qui "ouvre la porte pour laisser venir l'animal farouche". On n'est pas sûr que l'animal viendra, mais plus la porte est ouverte, plus on a de chances qu'il arrive...

Illustration serge Secconi

"Le monde se complexifie", Theilhard de Chardin, l'avait déjà remarqué et je pense qu'il était loin d'être le premier! Il n'est pas de statique de l'humanité. L'enseignement doit procéder d'une dynamique et non d'une statique incluant trop peu les modifications profondes du terrain sur lequel il opère.

Le diptyque statique savoir-pédagogie doit évoluer. Non pas qu'il faille jeter avec l'eau du bain toutes les avancées, recherches et succès et échecs qui ont été faits dans ces deux domaines, de la main à la pâte au maths modernes, de la construction des savoirs par l'élève à l'enseignement à coups de règle sur les doigts,  mais il ne faut plus renvoyer dos à dos des champs qui ne font que se regarder dans le blanc des yeux et qui n'ont plus guère de choses à dire, en ce moment, pour faire sortir l'enseignement dans ce qui semble être une belle ornière. L'horizon actuel de l'enseignement ne semble plus être dans une dynamique entre ces deux seuls champs, devenue comme inerte par modification des conditions extérieures. Par souci de pragmatisme et d'efficacité, ce diptyque ne doit pas se transformer en unique tableau qui serait la compétence, dont une dynamique interne suffirait seule à insuffler le mouvement manquant.

Je propose pour ma part, et cela n'engage que moi dans cette réflexion personnelle à voix haute que je mène devant vous, une migration vers le triptyque savoir-culture-compétence qui me semble être dynamique, réaliste, actualisé et cohérent.

Le savoir me parait être le socle sur lequel s'appuie le mouvement général de diffusion. Des savoirs doivent être intériorisés avant d'en construire d'autres, plus ambitieux, plus complexes qui nécessitent plus de matériaux bruts. Il n'est pas de savoir qui ne naît d'un savoir préalablement acquis. L'expérience est un savoir mais ce n'est pas le seul. Le savoir ne peut être réduit à l'expérience individuelle dans le sens où l'universalité ferait défaut. Le débat doit sans cesse se faire sur la définition minimale et maximale des savoirs attendus. Le savoir se tourne vers le passé, il est acquis et figé, en attente d'être utilisé, associé, diffusé à l'extérieur après avoir nécessairement fait l'objet d'un mouvement de diffusion intérieure.

La compétence est un élément clé de la dynamique qui se tourne vers l'avenir, le futur, sur le savoir en action. La compétence pose la question du devenir, de la responsabilité actuelle sur l'action à venir. Il faut expliquer ce qu'est une compétence attendue et là encore définir clairement le minimum et le maximum exigible. La compétence doit se diviser en autant de parties que l'on juge de formes différentes de l'intelligence humaine. Il ne faut pas que l'évaluation par compétence soit tout simplement une autre forme d'évaluation du savoir mais qu'elle possède sa propre autonomie et ses propres critères d'évaluation. L'intelligence relationnelle est par exemple une forme de compétence qui pourrait être évaluée comme telle. Si les entreprises lèvent haut et fort l'oriflamme des compétences, il faudrait aussi qu'elles définissent clairement ce que c'est. Il faudrait ensuite savoir comment les transposer chez des adolescents, comment les évaluer et encore et surtout les prendre en compte. Quel professionnel a déjà regardé un livret scolaire? Les entreprises regardent les diplômes et demandent des compétences. Le jeu n'est donc pas si clair que cela. Il est impératif de le rendre lisible et cohérent avec les structures dans lesquelles il se joue et les individus qui en sont les acteurs.

La troisième partie du triptyque, me semble être la plus importante, car c'est d'elle que provient l'équilibre dynamique. La culture, élément ambivalent, intériorisé de l'individu, est sans cesse visible à l'extérieur. C'est un champ d'exploration et d'exploitation infini qui mélange le passé et le présent, l'histoire et la politique, les traditions et l'état des connaissances, de la technique et des croyances. La culture de l'autre, de soi, le regard tourné vers les errances du passé, les tâtonnements du présent, les débats en cours, la fondation de grandes civilisations passées, et l'état des lieux actuel, est la nécessaire articulation d'un savoir actif en marche. C'est le catalyseur de la dynamique de la diffusion interne et externe. Il ne peut-être actuellement de transmission viable sans que l'élève et l'enseignant ne soient au coeur de cette dynamique et aient signé ce pacte à chaque fois qu'ils se rencontrent, scellant ainsi l'acte de diffusion autour de la triade positive savoir-culture-compétence. Le pacte doit être gagnant-gagnant. Si l'école possède une part de responsabilité dans ce changement, elle sait très bien qu'elle ne peut pas être la seule à intégrer ces changements. Les entreprises et la société dans son ensemble doivent aussi le faire, car elles ne peuvent d'un coté accuser et dénoncer et d'autre part ne pas prendre en charge la partie qui leur incombe dans des messages envoyés à une jeunesse qui attend de leur part une réelle reconnaissance de compétences, de savoirs et de la culture sous une forme large. A l'entreprise et à la société de faire les ajustements nécessaires et non toujours se placer en tant que consommateur-demandeur, en pointant du doigt, ce qui est bien difficile à faire lorsque cela a un réel coût financier ou politique et engage sur la durée.

Cette réflexion est celle d'un premier jet... donc forcément incomplète, imparfaite et certainement un peu naïve... Il reste toujours les beaux tableaux ...

Et je laisse la conclusion à Serge où j'ai trouvé dans sa revue de Presse hebdomadaire:

Les vélos fleurissent jusque dans nos villes occidentales, mais depuis 150 ans personne n'a jamais réussi à expliquer pourquoi ils étaient aussi stables ! Des chercheurs de Delft et de Corneill se sont attelés au problème. Selon un fabriquant de vélo, 3 paramètres entrent en ligne de compte : la géométrie globale, la distance entre les axes et l'angle que la fourche fait avec la verticale.

Le modèle mathématique inclura 25 paramètres et permettra de construire des bicyclettes en ciblant directement ces groupes spécifiques. Une entreprise  de fabrication de bicyclettes hollandaise espère déjà concevoir de meilleurs vélos en utilisant ce modèle mathématique.

Les « constructeurs de bicyclette n'ont jamais pu dire avec précision comment fonctionne une bicyclette  » précise Schwab de l'Université  « Ils ont toujours dû améliorer leurs conceptions avec l'expérimentation. Dans notre modèle, ils peuvent entrer dans l'ordinateur les divers facteurs qui influencent la stabilité et le contrôle de leur bicyclette. Le modèle calcule alors comment la bicyclette réagira aux vitesses spécifiques. »


Si vous voulez en savoir plus, l'article original est ICI et en anglais.

" Certes, la science avance ... mais moins vite que le vélo ! "

L'article de Futura-Sciences : ICI

Et pour une petite ballade romantico-mathématique en vélo, n'oubliez pas de passez par ICI